By Roshdi Rashed
E-book VI of the Konika is basically dedicated to the query of the id and similarity of 2 conic sections, or components of conic sections. In e-book VII Apollonius bargains with a number of the relationships among the lengths of diameters and conjugate diameters. the implications are utilized to the exposition of a few difficulties, in addition to to a few difficulties which Apollonius exhibits might be confirmed and solved in publication VIII, which used to be misplaced in Antiquity. Books VI and VII have merely survived in an Arabic translation, and are provided right here in a serious version, including a devoted translation and a historical-mathematical statement.
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Example text
17, les segments L1TB et XHZ sont A er çH semblables et semblablement placés. 19 ; il n'est donc pas non plus semblable au segment L1TB. Il s'agit de la même proposition que la précédente pour deux sections semblables ~ et ~', hyperboles ou ellipses. Soit A et E les sommets respectifs, A et T les centres, Arr et EP les côtés droits des sections semblables ~ et ~'. 22. - On considère sur l'axe AA les points M et S et sur l'axe ET les points r et 8 tels que AM Er AE E8 AII EP c --=-=-=- c' On prend sur ~ les points B et 0 d'abscisse AM et le point L1 d'abscisse AS, et sur ~' on prend leurs homologues Z et L d'abscisse Er et X d'abscisse E8.
Supposons d'abord que :' =:' et soit M(x, y) E J et M' (x', YJ E J' deux points d'abscisses respectives 0 < x < d et 0 < x/ < d/ pour les ellipses et x > 0 et x/ > 0 pour x d les hyperboles et tels que x' = d'. On a (E d x d' x' d+EX d' + EX ' =+ 1 pour l' hyperbole et E =-1 pour l' ellipse). Au point M de J on associe la corde MN et au point M/la corde MN/. 13 pour l'ellipse, on a d'où 30 Le sixième livre des Coniques y2 _ cd' x (d+ex) _ cd' d 2 y'2 - c'd' x' (d' + ex') - c'd' d'2' Or l'hypothèse donne dc/ =cd~ donc ;,22 = dd2 .
17. - r 1 (1) Air = KÔM. p H r E x n A o Fig. 1 Sur les diamètres issus de points E et E tels que K Fig. 2 r pour g et de M pour g l, on prend les (2) TE = ME TZ MO' et on mène par E et E les parallèles aux droites tangentes; soit BL1 Il rz et ANIl MO ; alors les segments BrL1 et AMN sont semblables et semblablement placés. 1 KO (X sur ME). 49 ; soit c = TP et c / = Mç définis par 5. Segments semblables Mç = IIM . 2MO MX TP = eT et 2TZ On a alors L1E TH 39 = TP · rE et Ne = Mç . MS. 46, on a rH Il AZ et MX Il OK, donc l'égalité (1) de l'hypothèse entraîne etH = IIMX, eT IIMX sont semblables, et on a - TH (3) PT = çM TZ MO les triangles rectangles eHr et IIM " d'ou MX = -, Des égalités (2) et (3) on déduit = ~].
